Alumna investigadora: Marta Alonso Tubia

Centro: Departamento de Matemática Aplicada

Profesora/tutora: María Paz Calvo Cabrero

Tareas realizadas:

El propósito principal de este proyecto es la iniciación en tareas de investigación en temas de Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales. El objetivo final del proyecto es la elaboración del Trabajo Fin de Grado en Matemáticas “Análisis regresivo de integradores numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias”, el cual fue defendido en la Facultad de Ciencias el 7 de Julio de 2022 obteniendo la máxima calificación 10/10 (Matrícula de Honor).
Las tareas realizadas responden a la siguiente estructura de trabajo: en primer lugar se desarrollaron ejemplos introductorios de la construcción de las ecuaciones modificadas de sistemas de ecuaciones diferenciales. Seguidamente se profundizó en el estudio de los árboles con raíz, siendo estos una herramienta adecuada para efectuar la composición de B-series y para desarrollar la teoría general que permite construir las ecuaciones modificadas asociadas a un integrador numérico.
Una vez probada la existencia de las ecuaciones modificadas y detallada su construcción, el segundo capítulo de este trabajo se centra en el análisis regresivo de los errores, particularizándose este análisis al
caso de sistemas Hamiltonianos, y se demuestra que usando métodos simplécticos para su integración numérica, las ecuaciones modificadas son también Hamiltonianas.
En el tecer capítulo se incluyen experimentos numéricos para el problema de Kepler que muestran que en integraciones temporales largas los errores generados por métodos simplécticos de paso fijo presentan un crecimiento lineal con el tiempo, mientras que los generados por métodos convencionales crecen cuadráticamente. También se justifican teóricamente los resultados numéricos obtenidos haciendo uso del análisis regresivo estudiado en el capítulo anterior.

Objetivos alcanzados:

Se han construido ecuaciones modificadas para diferentes ejemplos de sistemas diferenciales, realizando programas en Matlab que generan las gráficas de la evolución con el tiempo de la solución exacta del sistema original, y del sistema modificado, y también la solución numérica del problema original. A través de estos ejemplos se ilustra el concepto de ecuaciones modificadas.
Se ha motivado la conveniencia del análisis regresivo de los errores especialmente cuando se está interesado en el comportamiento cualitativo de las soluciones numéricas de ciertos sistemas diferenciales, y cuando se requieren integraciones en intervalos temporales largos. Este tipo de análisis se ha profundizado en el caso de los sistemas Hamiltonianos.
Se ha ilustrado mediante experimentos numéricos y se ha analizado desde el punto de vista teórico, con ayuda del análisis regresivo, el comportamiento de los errores.

Sectores de aplicación:

Análisis numérico de ecuaciones diferenciales.

Metodología utilizada:

Investigación bibliográfica del conocimiento actual disponible sobre el tema.
Programación de funciones en Matlab que generen gráficas para ilustrar los ejemplos.
Desarrollo de la parte teórica del trabajo: definiciones, lemas y teoremas con sus correspondientes demostraciones, desarrollándose más en profundidad los resultados de la bibliografía.
Programación de experimentos numéricos con los que mostrar la conveniencia y utilidad del análisis regresivo de los errores en determinados problemas.