Alumno investigador: Rodrigo San José Rubio
Estudios: Máster en Matemáticas. Facultad de Ciencias. Instituto de Investigación en Matemáticas de la UVa (IMUVA)
Profesores/tutores: Philippe Gimenez y Diego Ruano
Resumen del proyecto:
El objetivo del trabajo es estudiar la conexión entre varios invariantes homológicos y la teoría de códigos. Para ello, nos basamos principalmente en los trabajos del grupo liderado por Rafael H. Villarreal en México, que ha obtenido numerosos resultados en los últimos años relacionando el álgebra conmutativa y la teoría de códigos. Por una parte, se introduce una formulación algebraica de los parámetros de los códigos tipo Reed-Muller proyectivos mediante la función distancia mínima y la función huella, y se generalizan estas funciones para tratar los pesos de Hamming generalizados. Estas funciones se pueden definir para ideales homogéneos en general y se pueden estudiar sus propiedades desde el punto de vista del álgebra conmutativa. Por otro lado, podemos utilizar el conocimiento teórico sobre estas funciones para recuperar la distancia mínima, o cotas inferiores de ella, para algunos tipos de códigos particulares.
Objetivos alcanzados:
Se ha elaborado un trabajo de fin de máster, que ha obtenido la calificación de 10. Además, se ha presentado un póster sobre este trabajo en la escuela “Graduate student meeting on Applied Algebra and Combinatorics” (organizada por la Universidad de Copenhagen del 21 al 23 de abril de 2021, enlace: https://www.math.ku.dk/english/calendar/events/applied-algebra-combinatorics/).
Sectores de aplicación:
A la Teoría de Códigos en general. En particular, se pueden ver aplicaciones a criptografía (esquemas de compartición de secretos), códigos cuánticos y computación multiparte.
Metodología empleada:
Se han utilizado los algoritmos propios del álgebra conmutativa para el cálculo de invariantes de ideales graduados y de la función distancia mínima y función huella. Para ello, se ha usado principalmente el software libre Macaulay2, y se ha tenido acceso a un servidor de computación del grupo Singacom para llevar a cabo los cálculos.
