Alumno investigador: Antonio Flórez Gutiérrez

Estudios: Grado en Matemáticas. Facultad de Ciencias. Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología.

Profesora/tutora:  Ana José Reguera López

Resumen del proyecto:

John Nash es probablemente el primer matemático en utilizar
el espacio de arcos asociado a una variedad algebraica con el objeto de entender sus singularidades. El tema se ha convertido en un lugar
de fértiles interacciones entre numerosas ramas de las matemáticas: Álgebra, Geometría, Topología o Lógica Matemática han jugado un papel importante en la comprensión de este objeto.
El espacio de arcos de una variedad X visto como un objeto geométrico representa un salto conceptual importante. Tiene dimensión infinita si X tiene dimensión estrictamente
positiva y su estructura está todavía sin dilucidar cuando X es una variedad singular.
Un caso más sencillo es entender el caso de una curva X con un punto singular O. En este caso el espacio de arcos de X se entiende como el espacio de las parametrizaciones de Newton-Puiseux del germen (X;O).
El tema del proyecto es estudiar dicho espacio para las curvas desde la perspectiva del Trabajo de Fin de Grado del alumno, «Valoraciones y Curvas».

Objetivos alcanzados:

1. El alumno ha adquirido los conocimientos de Álgebra Conmutativa necesarios para la comprensión del espacio de arcos, y en particular la teoría de valoraciones.
2. El alumno ha completado el curso introductorio a la Geometría Algebraica impartido por el profesor Olivier Piltant.
3. El alumno ha comprendido las ideas fundamentales sobre la construcción y manipulación del espacio de arcos de una curva, y ha dado un primer paso en la investigación sobre este tema.

Sectores de aplicación:

Las interacciones entre el espacio de arcos y la resolución de singularidades son de gran interés para la Geometría Algebraica. Si bien la resolución de singularidades para curvas es bien conocida, el estudio del espacio de arcos y su relación con la resolución de singularidades de las curvas podría aportar ideas generalizables a variedades de dimensión superior para las que la resolución de singularidades no se comprende tan bien. Se sabe que la resolución de singularidades existe para variedades definidas sobre cuerpos de característica cero. Sin embargo, para característica positiva y dimensión mayor o igual que cuatro se trata de un problema abierto.

Metodología empleada: 

– Reuniones y clases semanales con un alumno doctorante y Olivier Piltant, investigador del CNRS y la Universidad de Versalles, para ampliar los conocimientos del alumno sobre Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica.
– Reuniones de trabajo semanales con la tutora del Trabajo de Fin de Grado, cuyo área de trabajo es el espacio de arcos.
– Trabajo personal de investigación y redacción.