Alumno investigador: Miguel Valderrama de las Heras

Departamento o Instituto Universitario: Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología.

Tareas realizadas:

El trabajo ha tenido 2 objetivos principales: acostumbrarme a la lectura de libros de alto nivel de Geometría Algebraica para ampliar mis conocimientos en esta área y, posteriormente, aplicar dichos conocimientos a un campo con actividad investigadora activa, elaborando un Trabajo de Fin de Máster y dando unos primeros pasos hacia una futura tesis doctoral.
Para cumplir el primero de los objetivos, he consultado los trabajos de autores como H. Matsumura, R. Hartshorne y M. Atiyah. He ampliado mis conocimientos en torno al concepto de “anillo de valoración”, estudiando sus características y casos particulares o relacionados, como los “anillos de valoración discreta” y los “dominios de Krull”, estableciendo así las bases sobre las que se construye gran parte del estudio de las singularidades en el contexto de la Geometría
Algebraica.
Posteriormente, he aplicado estos conocimientos para introducirme en el concepto del “espacio de arcos” de una variedad, en torno al cual muchas preguntas permanecen abiertas, con el objetivo de comprender sus singularidades, trabajando sobre cuerpos algebraicamente cerrados y de característica 0. Para ello, he consultado artículos de A. Reguera, O. Piltant y T. de Fernex, además de asistir a reuniones particulares con mi tutora, A. Reguera, en las que me explicó lo necesario y me planteó diversas cuestiones sobre las que trabajar, marcando así una ruta para avanzar en la comprensión de este campo.
Tras comprender este concepto y estudiar sus primeras propiedades, he centrado mi estudio al caso de la cúspide, con el objetivo de plantear e intentar abordar algunas de estas preguntas que, incluso para este caso, siguen sin respuesta.

Objetivos alcanzados:

He ampliado mis conocimientos en el área de la Geometría Algebraica y adquirido una mayor soltura en su empleo mediante la lectura de diversos libros de nivel avanzado en dicha materia, cumpliendo así el primero de los objetivos marcados. Por otro lado, he logrado aplicarlos al campo del estudio de singularidades para comprender el concepto de
espacio de arcos. Finalmente, he abordado ciertas preguntas abiertas respecto al caso de la cúspide, consiguiendo resolver afirmativamente una de ellas, obteniendo un resultado novedoso que relaciona el espacio de arcos de esta variedad con su normalización y dando unos primeros pasos en el mundo de la investigación, cumpliendo satisfactoriamente el segundo de los objetivos marcados.

Sectores de aplicación:

Estudio y resolución de singularidades de variedades algebraicas.

Metodología utilizada:

Lectura de libros de alto nivel en el contexto de la Geometría Algebraica, así como artículos de investigación relacionados con el estudio del espacio de arcos. Asistencia a reuniones periódicas con A. Reguera para ayudarme a comprender este campo y marcar una ruta de trabajo. Trabajo personal para comprender y redactar del trabajo y abordar las preguntas planteadas, apoyándome en el programa “Singular” para la parte final, que permite realizar cálculos en anillos de polinomios.

Opinión sobre la experiencia investigadora desarrollada:

El desarrollo de este proyecto me ha permitido afrontar por primera vez un tema de investigación y confirmar así mi deseo de seguir este camino, concretamente, en este campo.