Alumno investigador: Jesús Dueñas Pamplona

Estudios: Máster en Matemáticas. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemática Aplicada.

Profesor/tutor: Rafael Obaya García

Resumen del proyecto:

Se denominan sistemas complejos a aquellos sistemas de la ciencia y la tecnología cuyo comportamiento dista del que cabría esperar de una mera superposición de sus componentes. Su evolución está regida por la no-linealidad y fenómenos de complejidad dinámica. En los últimos años, investigadores en ciencias aplicadas han manifestado preocupación ante el comportamiento de algunos de estos sistemas, los cuales responden con grandes cambios a estímulos de pequeña magnitud. Estos fenómenos son denominados transiciones críticas o puntos de no retorno y han tomado un papel cada vez más relevante en diversas ramas de la ciencia moderna que van desde la termodinámica hasta las finanzas, pasando por la ecología, la climatología o la medicina.
El marco matemático que utilizamos para el estudio de estas transiciones es el de un sistema con un estado inicial y un estado final en los que la evolución está regida por sendos sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s) autónomas. Estos estados corresponderán a dos valores posiblemente distintos de un parámetro de un sistema de EDO’s. El estudio de la transición consistirá en introducir una función que decida cómo es la variación temporal del parámetro desde el valor inicial al final. De esta forma, el sistema de EDO’s que regirá la transición será no autónomo pero asintóticamente autónomo, propiedad que hace posible gran parte del tratamiento dinámico del problema.

Objetivos alcanzados:

• Alcanzar una visión general sobre dinámica no autónoma en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s): existencia de soluciones acotadas, soluciones con propiedades de recurrencia, estabilidad de las soluciones, presencia de atractores, conjuntos invariantes, conjuntos minimales…
• Recopilar información bibliográfica relativa a transiciones críticas, tanto de sus aplicaciones en diversidad de áreas de las ciencias aplicadas, como de las propuestas de modelización matemática que se han venido haciendo en los últimos años.
• Comprender ciertos mecanismos matemáticos capaces de explicar transiciones críticas en sistemas complejos, con especial interés en los puntos de no retorno inducidos por velocidad de transición y los puntos de no retorno inducidos por bifurcación.
• Simular numéricamente transiciones críticas en modelos sencillos de ecuaciones diferenciales ordinarias conforme a los modelos estudiados.

Sectores de aplicación:

Las transiciones críticas son una fuente de preocupación en diversidad de áreas de las ciencias aplicadas: la desertización de un ecosistema o la extinción de una especie en ecología, fenómenos climáticos repentinos, crisis asmáticas o epilépticas en medicina, crisis financieras… Es de esperar que el desarrollo progresivo de una teoría matemática permita comprender mejor estos fenómenos y elaborar herramientas para su detección temprana.

Metodología empleada:

Las herramientas con las que se ha trabajado a lo largo del presente proyecto han sido de dos naturalezas distintas:

-dinámicas, siendo a su vez de dos tipos: topológicas, que hacen uso de la estructura topológica del espacio de fases y de la continuidad del flujo de la ecuación; o ergódicas, es decir, basadas en teoría de la medida, como la asignación de medidas invariantes en el espacio de fases.

-computacionales, en las que se han utilizado métodos numéricos propios de la dinámica no autónoma.