Alumno investigador: Diego Rojo García

Estudios: Grado en Matemáticas. Facultad de Ciencias. Instituto de Investigación en Matemáticas (IMUVA)

Profesora/Tutora: María Paz Calvo Cabrero

Resumen del proyecto

El objetivo final del proyecto de investigación desarrollado en el marco de una Beca Consejo Social
de colaboración en tareas de investigación en el Instituto de Investigación en Matemáticas (IMUVA) ha sido la realización del Trabajo Fin de Grado (TFG) “Introducción a la integración numérica de ecuaciones diferenciales algebraicas de índice 2 con métodos de tipo Runge-Kutta'' que fue defendido el lunes 13 de julio de 2015 en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid obteniendo la calificación de Matrícula de Honor. Es por esto que la mayor parte de la investigación realizada queda plasmada en dicho TFG.
Las tareas iniciales han consistido en el estudio y concreción de las definiciones básicas en relación con las ecuaciones diferenciales algebraicas (EDAs) con especial énfasis en el índice de diferenciación. Además se han detallado las familias de sistemas de EDAs de índice de diferenciación 1, 2 y 3 que aparecen frecuentemente en las aplicaciones.
A continuación, el trabajo de investigación se ha centrado en el estudio detallado de los métodos Runge-Kutta semi-explícitos surgidos en la literatura para integrar EDAs de índice 2
semi-explícitas. Especial atención se ha prestado a la obtención de las condiciones de orden que deben cumplir los coeficientes de los métodos considerados. Ello ha requerido la comparación de los desarrollos de Taylor de la solución exacta del problema y de la solución numérica calculada, para lo cual se ha estudiado con detalle la teoría de árboles necesaria para este tipo de problemas y métodos.
La parte final de la investigación se ha dedicado a su implementación. Para ello se ha estudiado una familia importante de problemas que conducen de manera natural a EDAs de índice 2: los sistemas mecánicos con restricciones holonómicas.

Sectores de aplicación

Diseño de circuitos eléctricos
Sistemas mecánicos formados por varias piezas simples que están acopladas Problemas de control óptimo

Objetivos alcanzados

Se ha realizado una puesta al día del estado de la investigación acerca de la integración numérica
de EDAs de índice 2
Se ha implementado en MATLAB un método Runge-Kutta semi-explícito de orden 4 para integrar numéricamente los sistemas de EDAs de índice 2 correspondientes a cada uno de los sistemas modelo elegidos.
Además se han programado otras 3 funciones de MATLAB que contienen los parámetros y funciones necesarios para la integración de cada uno de los problemas modelo y una serie de funciones adicionales para mostrar gráficas de dichos resultados numéricos y animaciones esquemáticas del movimiento de dichos problemas.

Metodología empleada

Estudio y concreción de las definiciones básicas en relación con las ecuaciones diferenciales
algebraicas (EDAs) con especial énfasis en el índice de diferenciación.
Estudio de las familias de sistemas de EDAs de índice de diferenciación 1, 2 y 3 que aparecen frecuentemente en las aplicaciones.
Ejemplos analíticos y gráficos de cada una de las familias. Modelo gráfico relativo al péndulo matemático.
Investigación bibliográfica del estado actual del tema.
Implementación en MATLAB de un método Runge-Kutta semi-explícito de orden 4 para integrar numéricamente los sistemas de EDAs de índice 2 correspondientes a cada uno de los sistemas modelo elegidos. Integración de cada uno de los problemas modelo.